Page courante: Miscellaneous /  Systèmes chaotiques / Application à l attracteur de Lorenz

Parcours « vulgarisation »

Suite

Précédent

Début / Fin

Parcours complet

Suite

Précédent

Début / Fin

Parcours « formel »

Suite

Précédent

Début / Fin

Contrôle de systèmes chaotiques

Application sur l'attracteur de Lorenz - méthode OGY simplifiée

Pour contrôler les attracteurs de Lorenz et Rössler, on utilise la méthode OGY, qui se trouve simplifiée du fait de la structure des sections de Poincaré impliquées. En effet, les attracteurs possèdent des dimensions de Hausdorff proche de 2 (environ 2.06 pour Lorenz). Ainsi, les sections de Poincaré sont de simples courbes.

Section de Poincaré

On rappelle la forme du système de Lorenz:

Équation (4).

La section de Poincaré considérée ici est assez simple car elle est l'ensemble des points de l'attracteur tels que Z = Zmax.


Section de Poincaré
Figure 28: Attracteur de Lorenz avec, en rouge, sa section de Poincaré correspondant à Z = Zmax.

Application de premier retour

On s'intéresse à l'application de premier retour par rapport à la troisième coordonnée.


Application de premier retour relative à la troisième coordonnée
Figure 29: Application de premier retour relative à la troisième coordonnée pour le système de Lorenz.

On constate que cette courbe est particulièrement simple, c'est la raison pour laquelle on utilise la méthode OGY simplifiée.

Point fixe

Le contrôle se fait au voisinage du point fixe, il est donc nécessaire de le déterminer.

Vu la structure de l'attracteur, trouver la valeur de la troisième coordonnée du point fixe permet de déterminer le point fixe dans la section de Poincaré. On utilise donc l'application de premier retour par rapport à la troisième coordonnée.


Recherche de la troisième coordonnée du point fixe
Figure 30: Recherche de la troisième coordonnée du point fixe.

Calcul des perturbations

La méthode OGY nécessite de déterminer les directions et valeurs propres de la matrice jacobienne A. Ici, les sections de Poincaré sont assimilables à des courbes: on ne s'intéresse qu'à une seule direction propre et on obtient directement la correction

On détermine pour cela l'influence du paramètre de contrôle, Ra pour le système de Lorenz, sur le point fixe. Pour plusieurs valeurs du paramètre, on recherche le point fixe, tout comme précédemment. On génère alors plusieurs applications de premier retour.


Influence du paramètre de contrôle
Figure 31: Superposition de deux applications de premier retour du système de Lorenz (Ra = 28, en bleu, et Ra = 28.5, en vert). Recherche de deux points fixes et de l'influence du paramètre.

Connaissant l'influence du paramètre sur le point fixe et, par extension, sur les points au voisinage du point fixe, on est en mesure de déterminer quelle variation du paramètre doit être appliquée pour ramener, dans la section de Poincaré et au prochain passage, le point courant au point fixe. On obtient la loi de contrôle: