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Présentation des attracteurs

Attracteur de Lorenz

Présentation

L'attracteur de Lorenz tient son nom du météorologue Edward Lorenz qui l'a étudié le premier. C'est une simplification à l'extrême d'équations régissant les mouvements atmosphériques. Lorenz les a étudié afin de mettre en évidence sur un système simple la sensibilité aux conditions initiales qu'il avait observée.

Les équations correspondent aux équations de la convection de Rayleigh-Bénard. Dans cette expérience, on considère un fluide entre deux plaques portées à deux températures légèrement différentes. Les deux plaques sont horizontales et la plaque la plus chaude est située en bas. On observe des tourbillons.


Rayleigh-Benard
Figure 11: Convection de Rayleigh-Bénard - des tourbillons convectifs apparaissent entre deux plaques parallèles portées à deux températures différentes et disposées horizontalement de façon à ce que la plaque la plus chaude soit située en bas.

Cette expérience a été réalisée pour quelques fluides présentant des propriétés adaptées (viscosité, coefficient de dilatation, densité moyenne). Elle donne des résultats illustrant très bien le comportement chaotique.

Mise en équations

Le comportement du fluide est très bien déterminé par les équations de la mécanique des fluides. Ces dernières aboutissent aux équations suivantes.

Equation de Navier-Stokes:

Équation (4).

avec Pr = (n / D), nombre de Prandtl, rapport de la viscosité cinématique du fluide sur la diffusivité thermique.


Equation de l'incompressibilité du fluide:

Équation (5).

Equation de propagation de la chaleur:

Équation (6).

T est la température rapportée à celle du fluide sans la convection.


Ra est le nombre de Rayleigh. Il dépend des propriétés du fluide, de la distance entre les plaques et de la différence de température entre les plaques.


Les équations précédentes peuvent être réduites. Elles se présentent alors sous la forme d'un système, le système de Lorenz que voici:

Équation (4).

Dans toute la suite, on prendra: Pr = 10, b = 8/3 et Ra = 28. Ces valeurs impliquent un comportement chaotique.


n est une composante de vitesse et Z est une variable issue des grandeurs physiques évoquées dans les équations (4), (5) et (6). Les dérivées introduites dans les premiers membres sont des dérivées partielles par rapport au temps.


Le propos de cet exposé n'est pas la mécanique des fluides, nous ne rentrerons pas dans les détails des calculs qui permettent d'obtenir ce système (d'autant plus qu'il y a une partie délicate...).

Evolution dans le temps

L'évolution dans le temps d'un tel système est chaotique. On peut le "constater" intuitivement grâce à la courbe suivante.


Evolution chaotique
Figure 12: Evolution dans le temps de la première coordonnée du système.

Attracteur de Lorenz

L'espace des phases est un espace à trois dimensions dans lequel on représente les coordonnées (n, T, Z). On obtient l'attracteur de Lorenz.


Attracteur de Lorenz
Figure 13: Attracteur de Lorenz.

Exposant de Lyapunov

En considérant la définition de l'exposant de Lyapunov, on réalise les mêmes calculs que dans le cas de l'attracteur de Hénon. La différence relative dans les conditions initiales est de 10-12.


Détermination de l'exposant de Lyapunov pour l'attracteur de Lorenz
Figure 14: Détermination de l'exposant de Lyapunov pour l'attracteur de Lorenz.

On estime l'exposant de Lyapunov à 0.8. Les commentaires sont les mêmes que pour l'attracteur de Hénon.