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Analyses approfondies

Mode de correction

Problème

Les méthodes étudiées dans ce site indiquent la correction à appliquer à chaque passage à proximité du point fixe de la section de Poincaré. Lors du contrôle, cette correction était alors appliquée instantanément.

Considérons maintenant le cas d'un système physique. On relie le paramètre de contrôle à une grandeur physique du système, grandeur que l'on modifie physiquement. Par exemple, dans le cas du système de Lorenz, le système physique est la convection de Rayleigh-Bénard. Le paramètre de contrôle est le nombre de Rayleigh qui est lié à plusieurs grandeurs physiques dont la température du fluide au niveau des plaques. Pour modifier le nombre de Rayleigh, on modifiera la différence de température entre les deux plaques. Mais, le système mettra un certain temps pour réagir à cette sollicitation. Il est donc plus réaliste de considérer qu'il existe un délai entre le calcul de la correction à appliquer et la modification effective de la grandeur physique. On ne tenait pas compte de ce retard dans les simulations présentées jusqu'ici.

On suppose que la réaction du système est décrite par une équation différentielle du premier ordre, c'est-à-dire que le paramètre physique tend vers la valeur qui lui est assignée par une loi exponentielle. Il est possible d'imaginer que, si le temps caractéristique de réponse du système est trop grand, le contrôle pourra perdre de son efficacité.

Pour mettre cela à l'épreuve, considérons le système de Lorenz. La correction appliquée ne l'est plus instantanément, mais suivant une loi exponentielle. On étudie alors l'effet de l'augmentation du temps de réponse (temps caractéristique dans la loi exponentielle). Notez que le temps mis pour un parcours complet de l'attracteur est de 1.54 s.

Temps caractéristique de réponse faible

Pour un temps de réponse compris entre 0 s et 0.087 s, on observe que le système a le temps de réagir à la correction.


Equation
Figure 52: Evolution du paramètre de contrôle de l'attracteur de Lorenz contrôlé, pour une correction exponentielle de temps caractéristique 0.068 s. On observe des oscillations convergentes de la valeur du paramètre de contrôle, puis sa stabilisation. Le temps est en millisecondes du système.

Les oscillations de Ra sont dues au fait que, dans les premiers moments après le début de chaque contrôle, la variation progressive de Ra pendant que l'évolution du système continue, écarte le système de la valeur de Ra pour laquelle la correction a été calculée. Lorsque la correction est instantanée, Ra évolue de manière exponentielle dans le temps pour se stabiliser plus vite que dans le cas précédent. Le mode de correction exponentiel ralentit donc quelque peu le contrôle et impose des oscillations. Mais, ces deux phénomènes ne sont pas réellement gênant car le temps de stabilisation du contrôle n'est pas beaucoup augmenté et les oscillations restent d'amplitudes faibles.

Temps caractéristique de réponse élevé

L'augmentation du temps caractéristique a pour effet l'amplification des oscillations observées dans l'évolution du paramètre de contrôle.


Equation
Figure 53: Evolution du paramètre de contrôle de l'attracteur de Lorenz contrôlé, pour une correction exponentielle de temps caractéristique 0.089 s. On observe des oscillations d'amplitude croissante. Il n'y a pas de stabilisation. Le temps est en millisecondes du système.

A partir du temps caractéristique 0.087 s, les oscillations ne cessent de croître en amplitude et le paramètre de contrôle Ra ne se stabilise plus. Le contrôle ne fonctionne plus. Le risque le plus important est bien là.