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Présentation des attracteurs

Pendule de Moon

Présentation

Le pendule de Moon est un système physique. Il est constitué d'un pendule (avec une boule métallique à son extrémité) accroché à une potence légèrement flexible. De plus, le pendule est placé entre deux aimants situés à égale distance de la boule lorsque celle-ci et la potence sont au repos.

La potence est ensuite excitée à l'aide d'un mouvement oscillatoire harmonique d'amplitude constante. Stimulé, le pendule se met en mouvement et les forces magnétiques dûes aux aimants. Le mouvement est alors chaotique.

Equation de Duffing

L'équation de ce système est dite équation de Duffing et s'écrit comme suit.

Équation (9).

Attention, les variables et constantes de l'équation sont sans dimension: on étudie un modèle mathématique, sans se soucier de l'homogénéité.

X est la position du pendule.

Les dérivées X' et X'' sont respectivement les dérivées partielles par rapport au temps d'ordre un et d'ordre deux.

m est la masse de la boule métallique, a est l'amplitude de l'excitation et w est la pulsation de cette excitation. Classiquement, on prend m = 0.15, a = 0.15 (en fait, entre 0.1 et 0.2 environ) et w = 0.81 (en fait, entre 0.8 et 0.82). On conservera ces valeurs dans la suite.

Il est intéressant de remarquer que ce système n'a qu'un degré de liberté. Un tel système va à l'encontre de l'idée selon laquelle il faut beaucoup de degrés de liberté pour obtenir un système chaotique.

Evolution dans le temps

Evolution chaotique
Figure 18: Evolution dans le temps de la position X.

Attracteur de Moon

Tout comme pour les attracteurs précédents, on génère l'espace des phases.


Attracteur de Moon
Figure 19: Partie de l'attracteur de Moon.

L'attracteur de Moon est nettement plus complexe que les autres attracteurs présentés sur le site. On ne représente qu'une partie de cet attracteur car on ne pourrait pas distinguer les trajectoires dans le cas contraire, on verrait une sorte de pelote de laine...

Cet attracteur est plus étendu que les autres attracteurs.

Exposant de Lyapunov

Détermination de l'exposant de Lyapunov pour l'attracteur de Moon
Figure 20: Détermination de l'exposant de Lyapunov pour l'attracteur de Moon.

On trouve un exposant de Lyapunov de 0.32.


Par l'attracteur de Moon, on clot la section de présentation du chaos et des attracteurs qui ont retenu notre attention.

La partie suivante traite du contrôle de systèmes chaotiques.