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Contrôle de systèmes chaotiques

Méthode OGY

Cette méthode 7, 9 fut proposée par Ott, Grebogi et Yorke au début des années 1990.

Principe

La matrice jacobienne A décrit le comportement des points de la section de Poincaré, en particulier au voisinage du point fixe. On remarque que, au voisinage de ce point fixe, deux directions régissent les passages du système dans la section de Poincaré et donc l'éloignement du point fixe. Une direction est stable: elle n'a pas besoin d'être affectée. L'autre direction est instable: il convient de s'intéresser à cette direction afin de déterminer les corrections à apporter pour compenser l'action de cette direction instable.

Section de Poincaré

On linéarise l'équation (12) vue précédemment (Xn+1 = f(Xn))au voisinage du point fixe:
Xn+1 = X0(pn) + A(X0(pn)). (Xn - X0(pn)) (13).

De plus, on considère qu'au voisinage du point fixe on a:

Équation (14).

De plus, A est constante et vaut:

Équation

Pour simplifier la lecture, on introduit les expressions suivantes:

Équation
Équation
Équation

Alors, on peut réécrire la relation (14) sous la forme:

Équation (15).

On souhaite désormais calculer la variation à imposer, de sorte que d Xn+1 = 0 (16).

A présente deux directions propres dont l'une instable eu (valeur propre associée strictement supérieur à 1, en valeur absolue) et l'autre stable es (valeur propre associée strictement inférieure à 1, en valeur absolue). On note les vecteurs adjoints dans la base duale fu et fs.

En remarquant que A =lsesfs +lueufu, on a:

Équation (17).

Puis, en notant et en composant (17) par fu:

Équation (18).

Ainsi:

Équation (19).

d'où:

Équation (20).

Finalement:

Équation (21).

On a ainsi déterminé la correction à appliquer au voisinage du point fixe et à chaque passage dans la section de Poincaré. Ainsi, au passage suivant, on revient au voisinage du point fixe et on est donc de nouveau dans les conditions d'application du contrôle.