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Contrôle de systèmes chaotiques

Outils

Afin de comprendre les méthodes de contrôle, il faut d'abord se familiariser avec quelques outils. Ces outils permettent de répondre aux objectifs du contrôle. Rappelons simplement ce que nous entendons par contrôle.

Objectifs

Dans cet exposé, le but du contrôle sera d'imposer une évolution périodique au système, sans que ce dernier perde ses caractéristiques.

Il faut donc que le système soit toujours dans un domaine chaotique où il conserve naturellement toutes ses propriétés dynamiques et chaotiques. On se propose, dans ces conditions, de lui imposer une trajectoire définie (mais aussi imposée en partie par la méthode de contrôle). Cette trajectoire constitue un cycle. Alors, le système contrôlé évoluera de manière périodique et de manière parfaitement prédictible.

On simpose les objectifs suivantes:


Pour répondre à ces critères, une solution est d'imposer de petites variations sur un paramètre important du système. Si les variations sont suffisamment petites, le système n'est pas trop modifié et ne perd donc pas ses propriétés dynamiques. Les méthodes présentées dans cet exposé suivent cette idée. On choisit donc un paramètre intéressant, appelé paramètre de contrôle, et on lui impose de petites perturbations dont les valeurs sont données par des algorithmes.

Avant d'étudier plus en avant ces méthodes, on considère quelques définitions.

Section de Poincaré

Une section de Poincaré est l'intersection entre un attracteur d'un système à n degrés de liberté et un sous-ensemble de l'espace de Equation. Le plus souvent, une section de Poincaré est un lieu particulier par lequel le système passe régulièrement au cours du temps. Une section de Poincaré permet d'étudier certaines propriétés d'un système dans un espace de dimension inférieure.

Application de nième retour

Au cours du temps, un système décrit son attracteur (après avoir convergé vers celui-ci). On suppose définie une section de Poincaré particulière. Régulièrement, le point courant du système traverse la section de Poincaré. On repère au cours du temps ces points de la section de Poincaré, ce qui constitue une suite de points notée (Pn)n, indexée par l'ordre de passage.

Une application de premier retour relative à la iième coordonnée est une fonction qui, pour tout n, à la coordonnée Equation associe la coordonnée Equationdu point suivant.

On peut généraliser à l'application f de mième retour relative à la iième coordonnée que l'on peut définir comme suit:

Équation (10).

Notations

Point fixe

On considère un point fixe, noté X0 = X0(p), de la section de Poincaré pour la valeur du paramètre (de contrôle) p = p0. Ce point fixe vérifie h(X0) = X0 si h est une application de premier retour (la propriété doit être vérifiée pour l'application de premier retour relative à n'importe quelle coordonnée).

Supposons que la condition initiale d'un système soit très proche du point fixe. Lors de son évolution, le système ne se stabilise jamais de lui-même autour du point fixe, le point fixe étant instable. Ceci signifie qu'à chaque passage dans la section de Poincaré, le point courant est de plus en plus éloigné du point fixe. Pour contrôler le système, on se propose de lui imposer de rester autour du point fixe, en modifiant légèrement la valeur du paramètre p.

Application de premier retour

On note (Xn)n l'ensemble des points du système qui sont dans la section de Poincaré, en indexant naturellement les points selon leur ordre de passage. A chaque passage, la valeur du paramètre de contrôle est aussi modifiée, on constitue alors la suite (pn)n.

Si fi est l'application de premier retour relative à la iième coordonnée, on note f le vecteur tel que:

f = (f1, f2, ..., fn) (11).

On note A la matrice jacobienne associée à f. A dépend du point où elle est évaluée.

On a alors: Xn+1 = f(Xn) (12).

On note aussi: EquationB traduit l'influence du paramètre de contrôle sur le comportement des points dans la section de Poincaré, au voisinage du point fixe.

La méthode se propose de contrôler l'attracteur par perturbations du paramètre, il convient donc de déterminer l'influence de celui-ci. B rend compte de cette dépendance.