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Présentation des systèmes chaotiques

Présentation qualitative

Sensibilité aux conditions initiales

Quelques systèmes physiques se comportent de manière chaotique. Parmi ces systèmes, on peut citer l'atmosphère, un robinet qui goutte, un pendule excité dans un champ magnétique... Ces quelques systèmes se démarquent par leurs dimensions et l'origine de leurs mouvements. Ainsi, on remarque que le chaos peut surgir dans divers systèmes et est, de ce fait, assez répandu. Quelques caractéristiques permettent de comprendre qualitativement les points marquants de ces systèmes.

Tout d'abord, ils sont extrêmement sensibles aux perturbations. On peut illustrer ce fait par l'effet papillon. Popularisé par le météorologue Edward Lorenz, cet effet papillon consiste en l'image suivante. On peut considérer que le simple battement d'aile d'un papillon en Australie peut entraîner une tempête sur côte américaine. Ceci signifie qu'une perturbation en apparence mineure à l'échelle de l'atmosphère peut avoir de grandes répercutions.

Plus précisément, il faudrait comprendre que si on considérait deux planètes Terre, placées presque dans les mêmes conditions, ne différant que par la présence d'un papillon, on constaterait que les deux planètes initialement dans des conditions très proches finiraient par se comporter de manières très différentes; l'une connaîtrait des tempêtes là où l'autre présenterait un soleil au beau fixe...

Il faut néanmoins garder à l'esprit qu'il s'agit d'une image qui n'est pas tout à fait exacte car l'atmosphère n'est pas un système chaotique "parfait". Le battement d'aile d'un papillon n'aurait en réalité pas une influence si grande car il existe des phénomènes limitants. Notons d'ailleurs que ces effets limitants sont plus importants qu'on ne l'avait pensé au début. Quoiqu'il en soit, l'image permet de comprendre le phénomène de sensibilité aux perturbations, plus souvent appelé "sensibilité aux conditions initiales".

Illustrons ce phénomène par une simulation numérique. On affecte à un système chaotique deux conditions initiales très proches, c'est-à-dire ne différant que très peu ("d'un papillon"...). Dans un premier temps, les deux systèmes évoluent de la même manière; mais, très vite, leur comportement devient différent pour n'avoir plus grand chose à voir.


Sensibilité aux conditions initiales
Figure 1: Evolution dans le temps pour deux conditions initiales très proches.

Aspect aléatoire

Les courbes précédentes illustrent la sensibilité aux conditions initiales. Cependant, une autre caractérisitque des systèmes chaotiques peut être observée sur les courbes précédentes. En effet, un système chaotique évolue d'une manière qui semble aléatoire. La courbe suivante permet de comparer une évolution simple, périodique et donc prédictible d'un système classique avec l'évolution plus complexe, non périodique et non prédictible d'un système chaotique.


Aspect aléatoire
Figure 2: Evolution dans le temps d'un système chaotique, comparé à une sinusoïde.

Ainsi, les systèmes chaotiques semblent évoluer de manière aléatoire. En tout cas, on ne peut prévoir facilement quelle sera leur évolution dans le temps.

Notons que les systèmes chaotiques obéissent tout de même aux lois de la physique. Si on se place dans l'approximation de la physique classique (toute la physique à l'exception de la physique quantique - pour simplifier le débat, même si on peut mettre en évidence des phénomènes chaotiques au "niveau quantique"), on peut affirmer que le système est totalement déterministe.

Il ne faut donc pas se laisser abuser par le caractère a priori aléatoire qui ne dénote qu'une complexité du système. Gardons donc à l'esprit que tout système chaotique répond aux lois de la physique et n'évolue pas du tout de manière aléatoire comme on pourrait le penser au premier abord.

Les lignes précédentes ont été l'occasion de souligner deux caractères fondamentaux des systèmes chaotiques: sensibilité aux conditions initiales et aspect aléatoire.

Ces considérations suggèrent l'intérêt du contrôle de tels systèmes. Nous allons l'exposer plus loin.